Caracterele matematice se pot vedea cel mai bine in browserul Firefox. Daca acestea nu sunt recunoscute, gasiti documentul in format pdf aici.
Recapiturea pentru teza o gasiti in Bacalaureat->Teze->Clasa
| NR 1 | NR 2 |
| 2p 1) Fie `x_n=root3(24+root3(24+...+root3(24)))`, `n` radicali, `n in NN^**`. | 2p 1) Fie `x_n=sqrt(12+sqrt(12+...+sqrt(12)))`, `n` radicali, `n in NN^**`. |
| a) Comparati `x_1` cu `x_2` si gasiti o relatie intre `x_(n+1)` si `x_n`. | a) Comparati `x_1` cu `x_2` si gasiti o relatie intre `x_(n+1)` si `x_n`. |
| b) Demonstrati prin inductie ca `x_(n+1)>=x_n` si `x_n lt 3`, `AA n>=1`. | b) Demonstrati prin inductie ca `x_(n+1)>=x_n` si `x_n lt 4`, `AA n>=1`. |
| c) Calculati `[x_n]` (partea intreaga). | c) Calculati `[x_n]` (partea intreaga). |
| 2p 2) Fie `f:RR->RR`, `f(x)=3^x+1/(3^x)`. | 2p 2) Fie `f:RR->RR`, `f(x)=5^x+1/(5^x)`. |
| a) Demonstrati ca `f` este functie para si ca `f` este functie strict crescatoare pe `[0,oo)`. | a) Demonstrati ca `f` este functie para si ca `f` este functie strict crescatoare pe `[0,oo)`. |
| b) Rezolvati ecuatia: `3^x+1/(3^x)=82/9`. | b) Rezolvati ecuatia: `5^x+1/(5^x)=626/25`. |
| c) Daca `f(x)=3` calculati `f(2x)+f(3x)`. | c) Daca `f(x)=3` calculati `f(2x)+f(3x)`. |
| 2p 3) Fie `log_x 3+log_y 3=4log_(xy) 3`, `x,y in (0,oo)-{1}`. Demonstrati ca `x=y`. | 2p 3) Fie `log_x 5+log_y 5=4log_(xy) 5`, `x,y in (0,oo)-{1}`. Demonstrati ca `x=y`. |
| 2p 4) a) Rezolvati ecuatia `z^2=-8-6i`, `z in CC`. | 2p 4) a) Rezolvati ecuatia `z^2=-91+60i`, `z in CC`. |
| b) Aflati suma modulelor radacinilor ecuatiei `2iz^2+3(1+i)z+3-i=0`. | b) Aflati suma modulelor radacinilor ecuatiei `z^2-(1+12i)z-(13+9i)=0`. |
| 2p 5) Fie `z_1, z_2, z_3 in CC` cu `|z_1|=|z_2|=|z_3|=2` si `z_1+z_2+z_3=1`. | 2p 5) Fie `z_1, z_2, z_3 in CC` cu `|z_1|=|z_2|=|z_3|=3` si `z_1+z_2+z_3=2`. |
| a) demonstrati ca `barz_1+barz_2+barz_3=1` si calculati `1/z_1+1/z_2+1/z_3`. | a) demonstrati ca `barz_1+barz_2+barz_3=2` si calculati `1/z_1+1/z_2+1/z_3`. |
| b) demonstrati ca `(z_1+barz_2)(z_2+barz_3)(z_3+barz_1) in RR`. | b) demonstrati ca `(z_1+barz_2)(z_2+barz_3)(z_3+barz_1) in RR`. |
| 2p 6) Rezolvati ecuatia `root3(x^2+8x+16)-root3(-x^2-x+12)+root3(9-6x+x^2)=7`. | 2p 6) Rezolvati ecuatia `root3(x^2+12x+36)-root3(-x^2-5x+6)+root3(1-2x+x^2)=7`. |
1) Demonstrati inegalitatile:
a) `a+b+c-abc<=2`, `AA a,b,c in [0,1]`
b) `(b+c)/(b+c-a)+(c+a)/(c+a-b)+(a+b)/(a+b-c)>=(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c`, in orice triunghi de laturi `a,b,c`.
2) Determinati multimea perechilor `(x, y)` de numere reale, pentru care `xy = (x-1)(y-1)(x-2)(y-2)`.
3) Fie punctele D si E oarecare pe laturile AC respectiv AB ale triunghiului ABC. Segmentele BD si CE se intersecteaza in punctul K. Se stie ca ariile triunghiurilor EKB, BKC, DKC sunt respectiv 5, 6, 7. Determinati aria patrulaterului ADKE.
4) Intr-o incapere sunt 6 persoane. Demonstrati ca printre acestea se afla cel putin doua cu acelasi numar de prieteni in acea camera.
5) a) Daca `a+b in QQ` si `a-b in QQ`, dem ca `a,b in QQ`.
b) Daca `a,b,sqrt(a)+sqrt(b) in QQ^**,`dem ca `sqrt(a), sqrt(b) in QQ`.
c) Daca `x,y,z in RR^**` si `xy, xz, yz in QQ`, demonstrati ca `x^2+y^2+z^2 in QQ`. Daca in plus `x^3+y^3+z^3 in QQ`, demonstrati ca `x,y,z in QQ`.
